Модальный структурализм и проблема интеграции: Философия «Математические объекты, структуры и доказательства» (тематический выпуск)

Илья Андреевич Гущин

doi:10.17072/2078-7898/2022-3-380-388

Авторы

Илья Андреевич Гущин Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, 620002, Екатеринбург, пр. Ленина, 51

DOI:

https://doi.org/10.17072/2078-7898/2022-3-380-388

Ключевые слова:

модальный структурализм, модальный нормативизм, платонизм, модальная метафизика, модальная эпистемология, объект, структура

Аннотация

Модальный структурализм представляет собой попытку преодоления проблем платонизма в философии математики. Продемонстрирована аргументация П. Бенацеррафа против платонизма и теоретико-множественного редукционистского реализма как одна из предпосылок возникновения модального структурализма. В качестве другой предпосылки возникновения модального структурализма описан подход Х. Патнэма. Представлен обзор основных положений модального структурализма, среди которых особое внимание уделено переформулировке положений математики с использованием модальностей как способу ухода от теоретико-множественного фундирования утверждений математики. Такая переформулировка наталкивается на проблему потенциального круга в объяснении, т.к. возможные миры как стандартный способ интерпретации модальностей сами являются теоретико-множественными. Для успешного решения этой проблемы используется предложение Дж. Хэллмана, которое заключается в том, что модальности нужно понимать как примитивы. При этом использование модальностей как примитивов создает дополнительные сложности: возможные структуры, о которых делает утверждения математика, обладают непроясненным метафизическим статусом, а объяснение наличия эпистемического доступа к таким структурам представляется крайне затруднительным. Для ухода от этих сложностей предлагается совместить модальный структурализм и модальный нормативизм. Согласно модальному нормативизму, утверждения с модальностями не являются высказываниями об объектах или фактах, они являются утверждениями о правилах языка, на котором они сформулированы. Принятие такой позиции лишает возможные структуры метафизического статуса, а проблема эпистемического доступа к ним трансформируется в проблему знания пользователем языка семантических правил этого языка. Также указывается, что модальный нормативизм может помочь решить проблемы структурализма, не связанные с модальностями, например идею зависимости «объектов» структурализма от структур.

Биография автора

Илья Андреевич Гущин, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, 620002, Екатеринбург, пр. Ленина, 51

ассистент кафедры онтологии и теории познания,Уральский гуманитарный институт

Библиографические ссылки

Ламберов Л.Д. Бенацерраф и теоретико-множественный редукционистский реализм // Эпистемология и философия науки. 2021. Т. 58, № 1. С. 142–160. DOI: https://doi.org/10.5840/eps202158115

Ламберов Л.Д. Математический структурализм с точки зрения (модальной) теории множеств // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2022. № 65. С. 28–36. DOI:http://doi.org/10.17223/1998863X/65/3

Целищев В.В. Философия математики. Новосибирск: Наука, 2002. 212 с.

Benacerraf P. What Numbers Could not Be // The Philosophical Review. 1965. Vol. 74, no. 1. P. 47–73. DOI: https://doi.org/10.2307/2183530

Benacerraf P. Mathematical Truth // The Journal of Philosophy. 1973. Vol. 70, iss. 19. P. 661–679. DOI: https://doi.org/10.2307/2025075

Field H. Science Without Numbers: The Defence of Nominalism. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1980. 144 p.

Hellman G. Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation. N.Y.: Clarendon Press, 1989. 168 p.

Hellman G. Structuralism // The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic / ed. by S. Shapiro. N.Y.: Oxford University Press, 2005. P. 536–562. DOI: https://doi.org/10.1093/0195148770.003.0017

Hellman G. Structuralism Without Structures // Philosophia Mathematica. 1996. Vol. 4, iss. 2. P. 100–123. DOI: https://doi.org/10.1093/philmat/4.2.100

Linnebo Ø. Structuralism and the Notion of Dependence // The Philosophical Quarterly. 2008. Vol. 58, iss. 230. P. 59–79. DOI: https://doi.org/ 10.1111/j.1467-9213.2007.529.x

Linnebo Ø. Thin Objects: An Abstractionist Account. N.Y.: Oxford University Press, 2018. 288 p. DOI:https://doi.org/10.1093/oso/9780199641314.001.0001

Lucas J.R. The Conceptual Roots of Mathematics. London, UK: Routledge, 2000. 470 p. DOI: https://doi.org/10.4324/9780203028421

Peacocke C. Being Known. N.Y.: Oxford University Press, 1999. 368 p. DOI: https://doi.org/10.1093/0198238606.001.0001

Putnam H. Mathematics without Foundations // The Journal of Philosophy. 1967. Vol. 64, iss. 1. P. 5–22. DOI:https://doi.org/10.2307/2024603

Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. N.Y.: Oxford University Press, 1997. 296 p.

Thomasson A.L. How Can We Come to Know Metaphysical Modal Truths? // Synthese. 2021. Vol. 198. P. 2077–2106. DOI: https://doi.org/10.1007/s11229-018-1841-5

References

Benacerraf, P. (1965). What numbers could not be. The Philosophical Review. Vol. 74, no. 1, pp. 47–73. DOI: https://doi.org/10.2307/2183530

Benacerraf, P. (1973). Mathematical truth. The Journal of Philosophy. Vol. 70, iss. 19, pp. 661–679. DOI: https://doi.org/10.2307/2025075

Field, H. (1980). Science Without Numbers: The Defence of Nominalism. Princeton, NJ: Princeton University Press, 144 p.

Hellman, G. (1989). Mathematics without numbers: Towards a modal-structural interpretation. New York: Clarendon Press, 168 p

Hellman, G. (1996). Structuralism without structures. Philosophia Mathematica. Vol. 4, no. 2, pp. 100–123. DOI: https://doi.org/10.1093/philmat/4.2.100

Hellman, G. (2005). Structuralism. S. Shapiro (ed.) The Oxford handbook of philosophy of mathematics and logic. New York: Oxford University Press, pp. 536–562. DOI: https://doi.org/10.1093/0195148770.003.0017

Lamberov, L.D. (2021). [Benacerraf and settheoretic reductionist realism]. Epistemologiya i filosofiya nauki. Vol. 58, no. 1, pp. 142–160. DOI: https://doi.org/10.5840/eps202158115

Lamberov, L.D. (2022). [Mathematical structuralism from the standpoint of (modal) set theory]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sotsiologiya. Politologiya [Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science]. No. 65, pp. 28–36. DOI: http://doi.org/10.17223/1998863X/65/3

Linnebo, Ø. (2008). Structuralism and the notion of dependence. The Philosophical Quarterly. Vol. 58, iss. 230, pp. 59–79. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1467-9213.2007.529.x

Linnebo, Ø. (2018). Thin objects: An abstractionist account. New York: Oxford University Press, 288 p. DOI: https://doi.org/10.1093/oso/9780199641314.001.0001

Lucas, J.R. (2000). The conceptual roots of mathematics. London, UK: Routledge Publ., 470 p. DOI: https://doi.org/10.4324/9780203028421

Peacocke, C. (1999). Being known. New York: Oxford University Press, 368 p. DOI: https://doi.org/10.1093/0198238606.001.0001

Putnam, H. (1967). Mathematics without foundations. The Journal of Philosophy. Vol. 64, iss. 1, pp. 5–22. DOI: https://doi.org/10.2307/2024603

Shapiro, S. (1997). Philosophy of mathematics: Structure and ontology. New York: Oxford University Press, 296 p.

Thomasson, A.L. (2021). How can we come to know metaphysical modal truths? Synthese. Vol. 198, pp. 2077–2106. DOI: https://doi.org/10.1007/s11229-018-1841-5

Tselischev, V.V. (2002). Filosofiya matematiki [Philosophy of mathematics]. Novosibirsk: Nauka Publ., 212 p