The study of amplitude equations for longwave Marangoni convection in a binary layer
DOI:
https://doi.org/10.17072/1994-3598-2016-1-55-63Abstract
The work deals with the study of the long-wave thermal and solutocapillary convection in a layer of a binary mixture. Despite the long research history of the convection in a binary mixture, the interest to these studies does not decrease, moreover, it becomes more remarkable, especially in problems of the convection in colloidal nanosuspensions and the thin films. The constant heat flax is maintained at the lower boundary of the layer. This boundary condition is corresponded to the situation when the thermal conductivity of the substrate is much smaller than the thermal conductivity of the binary mixture. The free surface of the layer is supposed to be non-deformable and at the same time the surface tension depends on the temperature and the solute concentration. Nonlocal nonlinear amplitude equations for longwave Marangoni convection in a binary layer are obtained. The weakly nonlinear analysis is carried out for pattern selection on the lattices of three types: rhombic (in Fourier space), square and hexagonal. The conditions of stability of finite amplitude structures are found.Received 24.03.2016; accepted 08.04.2016References
Garazo A. N., Velarde M. G. Dissipative Korteweg-de Vries description of Marangoni-Benard oscillatory convection. Physics of Fluids A, 1991, vol. 3, pp. 2295–2300.
Nepomnyashchy A. A., Velarde M. G., Colinet P. Interfacial Phenomena and Convection. London: CRC Press, 2001. 384 p.
Pismen L. M. Selection of long-scale oscillatory convective patterns. Physical Review A, 1988, vol. 38, pp. 2564–2572.
Shklyaev S. V., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Oscillatory long-wave Marangoni convection in a layer of a binary liquid: Hexagonal patterns. Physical Review E, 2011, vol. 84, 056327.
Schluter A., Lortz D., Busse F. H. On stability of steady finite-amplitude convection. Journal of Fluid Mechanics, 1965, vol. 23, pp. 129–144.
Busse F. H. On the stability of two-dimensional convection in a layer heated from below. Journal of Mathematical Physics, 1967, vol. 46, pp. 140–150.
Oron A., Nepomnyashchy A. A. Long-wavelength thermocapillary instability with the Soret effect. Physical Review E, 2004, vol. 69, 016313.
Shklyaev S. V., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Three-dimensional oscillatory long-wave Marangoni convection in a binary liquid layer with Soret effect: Bifurcation analysis. Physics of Fluids, 2007, vol. 19, 072105.
Silber M., Knobloch E. Hopf bifurcation on a square lattice. Nonlinearity, 1991, vol. 4, pp. 1063–1106.
Shklyaev S. V., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Long-wave oscillatory convection in a binary liquid: Hexagonal patterns. Europhysics Letters, 2009, vol. 86, 14005.
Roberts M., Swift J. W., Wagner D. H. The Hopf bifurcation on a hexagonal lattice. In: Golubitsky M., Guckenheimer J. (Ed.) Multiparameter Bifurcation Theory. Contemporary Mathematics. 1986. vol. 56, pp. 283–317.
Golovin A.A., Nepomnyashchy A. A., Pismen L. M. Pattern formation in large-scale Marangoni convection with deformable interface. Physica D, 1995, vol. 81, pp. 117–147.
Silber M., Skeldon A.C. Parametrically excited surface waves: Two-frequency forcing, normal form symmetries, and pattern selection. Physical Review E, 1999, vol. 59, pp. 5446–5456.
Skeldon A. C., Guidoboni G. Pattern selection for Faraday waves in an incompressible viscous fluid. SIAM Journal of Applied Mathematics, 2007, vol. 67, pp. 1064–1100.
Benjamin T.B., Feir J.E. The disintegration of wave trains on deep water. Part 1. Theory. Journal of Fluid Mechanics, 1967, vol. 27, pp. 417–430.
Shklyaev S. V., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Oscillatory longwave Marangoni convection in a binary liquid. Part 1: Rhombic patterns. SIAM Journal of Applied Mathematics, 2013, vol. 73, no. 6, pp. 2203–2223.
Shklyaev S. V., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Oscillatory longwave Marangoni convection in a binary liquid. Part 2: Square patterns. SIAM Journal of Applied Mathematics, 2014, vol. 74, no. 4, pp. 1005–1024.
Mikishev A. B., Nepomnyashchy A. A. Long-wavelength Marangoni convection in a liquid layer with insoluble surfactant: Linear theory. Microgravity Science and Technology, 2010, vol. 22, pp. 415–423.
Mikishev A. B., Nepomnyashchy A. A. Nonlinear large-scale Marangoni convection in a heated liquid layer with insoluble surfactant. Physical Review E, 2010, vol. 82, 046306.
Shklyaev S.V., Nepomnyashchy A. A. Longwave Marangoni convection in a surfactant solution between poorly conducting boundaries. Journal of Fluid Mechanics, 2013, vol. 718, pp. 428–456.
Podolny A., Oron A., Nepomnyashchy A. A. Long-wave Marangoni instability in a binary-liquid layer with deformable interface in the presence of Soret effect: Linear theory. Physics of Fluids, 2005, vol. 17, 104104.
Podolny A., Oron A., Nepomnyashchy A. A. Linear and nonlinear theory of longwave Marangoni instability with the Soret effect at finite Biot numbers. Physics of Fluids, 2006, vol. 18, 054104.
Podolny A., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Long-wave Marangoni instability in a binary liquid layer on a thick solid substrate. Physical Review E, 2007, vol. 76, 026309.
Bestehorn M., Borcia I. D. Thin film lubrication dynamics of a binary mixture: Example of an oscillatory instability. Physics of Fluids, 2010, vol. 22, 104102.
Morozov M., Oron A., Nepomnyashchy A. A. Nonlinear dynamics of long-wave Marangoni convection in a binary mixture with the Soret effect. Physics of Fluids, 2013, vol. 25, 052107.
Podolny A., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Long-wave coupled Marangoni-Rayleigh instability in a binary liquid layer in the presence of the Soret effect. Mathematical Modelling of Natural Phenomena, 2008, vol. 3, pp. 1–26.
Podolny A., Nepomnyashchy A. A., Oron A. Rayleigh-Marangoni instability of binary fluids with small Lewis number and nano-fluids in the presence of the Soret effect. Fluid Dynamics and Materials Processing, 2010, vol. 6, pp. 13–39.
Zhang J., Behringer R. P., Oron A. Marangoni convection in binary mixtures. Physical Review E, 2007, vol. 76, 016306.
Zhang J., Oron A., Behringer R. P. Novel pattern forming states for Marangoni convection in volatile binary liquids. Physics of Fluids, 2011, vol. 23, 072102.
Shklyaev S. V., Khenner M., Alabuzhev A. A. Oscillatory and monotonic modes of long-wave Marangoni convection in a thin film. Physical Review E, 2010, vol. 82, 025302(R).
Shklyaev S. V., Khenner M., Alabuzhev A. A. Long-wave Marangoni convection in a thin film heated from below. Physical Review E, 2012, vol. 85, 016328.
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
Автор предоставляет Издателю журнала (Пермский государственный национальный исследовательский университет) право на использование его статьи в составе журнала, а также на включение текста аннотации, полного текста статьи и информации об авторах в систему «Российский индекс научного цитирования» (РИНЦ).
Автор даёт своё согласие на обработку персональных данных.
Право использования журнала в целом в соответствии с п. 7 ст. 1260 ГК РФ принадлежит Издателю журнала и действует бессрочно на территории Российской Федерации и за её пределами.
Авторское вознаграждение за предоставление автором Издателю указанных выше прав не выплачивается.
Автор включённой в журнал статьи сохраняет исключительное право на неё независимо от права Издателя на использование журнала в целом.
Направление автором статьи в журнал означает его согласие на использование статьи Издателем на указанных выше условиях, на включение статьи в систему РИНЦ, и свидетельствует, что он осведомлён об условиях её использования. В качестве такого согласия рассматривается также направляемая в редакцию справка об авторе, в том числе по электронной почте.
Редакция размещает полный текст статьи на сайте Пермского государственного национального исследовательского университета: http://www.psu.ru и в системе OJS на сайте http://press.psu.ru
Плата за публикацию рукописей не взимается. Гонорар за публикации не выплачивается. Авторский экземпляр высылается автору по указанному им адресу.
