Симметричные системы координатных функций для однородных краевых задач на прямоугольнике с уравнениями в частных производных
DOI:
https://doi.org/10.17072/1993-0550-2026-3-30-48Ключевые слова:
численные методы, краевая задача, уравнение Пуассона, бигармоническое уравнение, дифференциальные уравнения в частных производных, функциональный анализАннотация
В данной работе впервые предложена идея решения однородных краевых задач с однородными уравнениями в частных производных на выделенном классе функций двух переменных с сохранением симметрии. Для достижения наилучшей точности используется 7 четных или 7 нечетных координатных функций по каждой переменной. Показано, что произвольную непрерывную функцию в правой части уравнения можно представить суммой четырех непрерывных функций, по одной из каждого класса симметрии. Методом Бубнова–Галеркина численно находится решение в каждом из 4 классов симметрии функций, решение задачи равно сумме четырех частных решений. В первой части работы доказаны 3 леммы и теорема – критерий принадлежности решения данному классу четности. В работе численно решены четыре краевых задачи с уравнением Пуассона, правая часть которого принадлежит разным классом четности. Равномерная норма невязки решения задач имеет порядок10-8. Также преимуществом предложенного алгоритма является быстродействие, которое, например, в 5–10 раз превосходит метод векторной прогонки для решения уравнения Пуассона.
Библиографические ссылки
Волосов К. А. Построение решений квазилинейных параболических уравнений в параметрической форме // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 4. С. 492–497.
Бурский В. П. Некоторые новые методы исследования краевых задач для общих дифференциальных уравнений в частных производных // Теоретическая и математическая физика. 2024. Т. 218, № 1. С. 48–59.
Пикулин В. П., Похожаев С. И. Практический курс по уравнениям математической физики. М.: МЦНМО, 2004. 208 с.
Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Никитина А. В. [и др.] Метод решения сеточных уравнений для задач гидродинамики в плоских областях// Математическое моделирование. 2023. Т. 35, № 3. С. 35–58.
Чернышов А. Д., Горяйнов В. В., Кузнецов С. Ф., Никифорова О. Ю. Применение быстрых разложений для построения точных решений задачи о прогибе прямоугольной мембраны под действием переменной нагрузки // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. Т. 70. С. 127–142.
Бурова И. Г., Алцыбеев Г. О. Применение сплайновых аппроксимаций второго порядка к решению интегральных уравнений второго рода // Вычислительные методы и программирование. 2025. Т. 26, № 2. С. 175–191.
Шапеев В. П., Беляев В. А. Решение краевых задач для уравнений с частными производными в треугольных областях методом коллокации и наименьших квадратов // Вычислительные методы и программирование. 2018. Т. 19, № 1. С. 96–111.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учеб. пособие для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. 636 с.
Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К. [и др.]. Модифицированный метод Бубнова–Галеркина для решения краевых задач с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением // Computational Mathematics and Information Technologies. 2024. Т. 8, № 3. С. 23–33.
Волосова Н. К., Волосов К. А., Волосова А. К. [и др.]. Решение краевых задач для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений методом Бубнова–Галеркина // Computational Mathematics and Information Technologies. 2025. Т. 9, № 1. С. 7–19.
Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации: Теория. Примеры. Задачи. М.: Физматлит, 2008. 255 с.
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2026 Дмитрий Феликсович Пастухов, Юрий Феликсович Пастухов
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Публикация статьи в журнале осуществляется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
