Производные числа и устойчивость решений динамических систем
DOI:
https://doi.org/10.17072/1993-0550-2026-3-5-17Ключевые слова:
устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений, устойчивость нулевого решения, второй метод Ляпунова, производные числа, частные производные числаАннотация
В настоящей работе решается задача расширения класса исследуемых динамических систем за счет ослабления требований к дифференцируемости их правых частей. Целью является разработка критериев устойчивости для систем, где функции не обладают непрерывными производными.
В основе предлагаемого подхода лежит применение аппарата частных производных чисел (ЧПЧ). Данный математический инструмент позволяет анализировать сложные функции нескольких переменных в точках, где обычный градиент не определен. Авторы развивают теорию ЧПЧ, базируясь на ранее опубликованных общетеоретических работах и результатах применения этого аппарата в задачах стабилизации. Важной особенностью исследования является отказ от использования аппарата производных Дини. Это позволило избежать излишнего усложнения доказательств и необходимости введения громоздких вспомогательных конструкций для функций многих переменных.
В терминах теории частных производных чисел сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия устойчивости нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В работе представлены соответствующие теоремы и их подробные обоснования. Полученные результаты позволяют эффективно исследовать устойчивость сложных нелинейных систем, не требуя классической гладкости их математических моделей. Данный подход расширяет возможности прикладного анализа динамических процессов в технике и управлении.
Библиографические ссылки
Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950. 472 с.
Четаев Н. Г. Устойчивость движения. 3-е изд. М.: Гостехиздат, 1955. 208 с.
Персидский К.П. Об одной теореме Ляпунова // ДАН СССР. 1937. Т. 14, № 9. С. 541– 544.
Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.
Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.
Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М., Наука, 1974. 480 c.
Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Sharlay A. Derived numbers of one variable convex functions // Italian journal of pure and applied mathematics. 2019. Vol. 41. P. 649–662.
Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Sharlay A. About stability of selector linear differential inclusions // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 2040. Art. № 150013.
Alferov G. V., Ivanov G. G., Efimova P. A., Sharlay A. S. Stability of linear systems with multitask right-hand member (Book Chapter) // Stochastic Methods for estimation and problem solving in engineering. 2018. P. 74–112.
Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Korolev V. Possible solutions of a linear homogeneous system of differential equations // AIP Conference Proceedings. 2020. Vol. 2293. Art. № 060002.
Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Korolev V. Investigation of the stability of solutions of systems of ordinary differential equations // AIP Conference Proceedings. 2020. Vol. 2293. Art. № 060004.
Иванов Г. Г., Алфёров Г. В., Ефимова П. А. Условия устойчивости линейных однородных систем с переключениями // Вестник Пермского Университета. Математика. Механика. Информатика. 2016. № 3(34). С. 37–48.
Иванов Г. Г., Алфёров Г. В., Ефимова П. А. Устойчивость селекторно-линейных дифференциальных включений // Вестник Пермского Университета. Математика. Механика. Информатика. 2017. № 2(37). C. 25–30.
Иванов Г. Г., Алфёров Г. В., Королёв В. С. Об устойчивости решений системы линейных дифференциальных уравнений // Вестник Пермского Университета. Математика. Механика. Информатика. 2022, № 2(57). С. 31–39.
Иванов Г. Г., Алфёров Г. В., Королёв В. С. Теорема об области асимптотической устойчивости и ее приложения // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022. № 1(56). С. 5–13.
Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Korolev V. About of the asymptotical stability of solutions of systems of ordinary differential equations // AIP Conference Proceedings. 2020. Vol. 2293. Art. № 060005.
Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Sharlay A. Stabilization of the program motion of control object with elastically connected elements // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 2040. Art. № 150014.
Ivanov G., Alferov G., Sharlay A., Efimova P. Conditions of Asymptotic Stability for Linear Homogeneous Switched System // AIP Conference Proceedings (ICNAAM-2017). 2017. Vol. 1863. Art. № 080002. DOI: 10.1063/1.4992263.
Иванов Г. Г., Алфёров Г. В., Королев В. С. Стабилизация программных движений систем переменной структуры // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023. № 2(61). С. 16–28.
Kulakov F., Kadry S., Alferov G., Sharlay A. Bilateral remote control over space manipulators // AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 2040. Art. № 150015.
Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. Москва: Советская энциклопедия, 1977–1985. (Энциклопедии. Словари. Справочники). 1982. 1184 с.
Богданов Ю. С. Лекции по дифференциальным уравнениям. "Вышэйшая Школа", Минск, 1977. 240 с.
Загрузки
Опубликован
Выпуск
Раздел
Лицензия
Copyright (c) 2026 Геннадий Викторович Алфёров, Геннадий Григорьевич Иванов, Владимир Степанович Королёв, Ирина Юрьевна Потоцкая
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Публикация статьи в журнале осуществляется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
