Gradient Elasticity Theories and Methods for Identifying Gradient Model Parameters
DOI:
https://doi.org/10.17072/1993-0550-2025-3-54-70Keywords:
gradient elasticity theories, simplified models, parameter identification, heavy layer deformationAbstract
The development of new nano-structured materials contributes to the development of nonclassical, in particular, gradient theories of elasticity. The use of gradient elasticity theories is considered justified for micro- and nano-scales in various practical problems of materials science, mechanics of composite materials, etc. This paper is devoted to a review of research on gradient elasticity theories, concerning both the development of general theoretical approaches and their application to solving various practical problems. The article analyzes works where static, dynamic, and thermal processes were studied within the framework of gradient theories of elasticity; examples of problems of using non-classical theories of elasticity for materials and structures with individual cracks, damage, phase transitions, etc. are considered. It should be noted that a special problem in such problems is the identification of parameters of nonclassical models, which is non-trivial in contrast to the classical theory of elasticity. In this regard, the article proposes an original method for identifying the parameter of the simplified gradient elasticity model by E. Aifantis based on the presented analytical solution to the problem of one-dimensional deformation of a heavy thin layer.References
Трусов П. В., Швейкин А. И. Многоуровневые модели моно- и поликристаллических материалов: теория, алгоритмы, примеры применения. Новосибирск: Изд. СО РАН, 2019. 605 с. DOI: 10.15372/MULTILEVEL2019TPV. ISBN: 978-5-7692-1661-9. EDN: BCSSTZ.
Лурье С. А., Соляев Ю. О. Метод идентификации параметров градиентных моделей неоднородных структур с использованием дискретно-атомистического моделирования // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 3. С. 89–112. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.3.06. EDN: SXDTNX.
Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: A. Hermann, 1909. 226 p.
Ерофеев В. И., Герасимов С. И. Континуума Коссера сто лет спустя // Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. 2013. Т. 5, № 1. С. 3–4.
Ericksen J. L., Truesdell C. Exact theory of stress and strain in rods and shells // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1957. Vol. 1. P. 295–323. DOI: 10.1007/bf00298012. EDN: AKLXGG.
Truesdell C., Toupin R. A. The Classical Field Theories, Handbuch der Physik, vol III/l, Berlin-Gottingen-Heidelberg, Springer Verlag, 1960. DOI: 10.1007/978-3-642-45943-6_2.
Toupin R. Α. Elastic Materials with Couple Stresses, Arch. Rational Mech. and Anal. 1962. Vol. 11. P. 385–414. DOI: 10.1007/bf00253945. EDN: YMFBWU.
Mindlin R. D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. 1964. Vol. 16. P. 51–78. DOI: 10.1007/bf00248490. EDN: UUTPGW.
Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Континуальная теория асимметричной теории упругости. Равновесие изотропного тела // Физика твердого тела. 1964. Т. 6, вып. 9. С. 2689–2699.
Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 3. С. 401–408.
Kroner E. Elasticity Theory of Materials with Long Range Cohesive Forces // International Journal of Solids and Structure. Vol. 3. 1967. P. 731–743. DOI: 10.1016/0020-7683(67)90049-2.
Kroner E. Dislocation field theory. Theory of cristal defects. New York, 1966.
Kunin I. A. Elastic Media with Microstructure, Springer Verlag, Berlin, 1983. DOI: 10.1007/978-3-642-81960-5.
Eringen A. C. and Edelen D. G. B. On Nonlocal Elasticity // International Journal of Engineering Science. Vol. 10. 1972. P. 233–248. DOI: 10.1016/0020-7225(72)90039-0.
Faghidian S. A. Higher-order nonlocal gradient elasticity: a consistent variational theory // International Journal of engineering science. 2020. Т. 154. P. 103337. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2020.103337. EDN: CSOFWI.
Васильев В. В., Лурье С. А. О корректных нелокальных обобщенных теориях упругости // Физическая мезомеханика. 2016. Т. 19, № 1. С. 47–59. EDN: VSMFNF.
Белов П. А., Лурье С. А. Развитие концепции "разделенной анизотропии" в теории градиентной анизотропной упругости // Механика композитных материалов. 2021. Т. 57, № 4. С. 611–628. DOI: 10.22364/mkm.57.4.01. EDN: IVOVKD.
Еремеев В. А. Об эллиптичности уравнений равновесия градиентной теории упругости и устойчивости в малом // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68), вып. 1. С. 99–108. DOI: 10.21638/spbu01.2023.109. EDN: KHXUVH.
Altan B. S., Aifantis E. C. On Some Aspects in the Special Theory of Gradient Elasticity // Journal of the Mechanical Behavior of Materials. 1997. Vol. 8, № 3. P. 231–282. DOI: 10.1515/JMBM.1997.8.3.231.
Васильев В. В., Лурье С. А. Модель сплошной среды с микроструктурой // Композиты и наноструктуры. 2015. Т. 7, № 1. С. 2–10. EDN: TPKWUN.
Васильев В. В., Лурье С. А. Обобщенная теория упругости // Известия РАН. Механика твердого тела. 2015. № 4. С. 16–27. EDN: UXVZDR.
Askes H., Aifantis E. C. Gradient elasticity in statics and dynamics: An overview of formulations, length scale identification procedures, finite element implementations and new results // International Journal of Solids and Structures. 2011. T. 48. P. 1962–1990. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2011.03.006. EDN: OKODVR.
Ломакин Е. В., Лурье С. А., Рабинский Л. Н., Соляев Ю. О. Полуобратное решение задачи чистого изгиба балки в градиентной теории упругости: отсутствие масштабных эффектов // Доклады РАН. 2018. Т. 479, № 4. С. 390–394. DOI: 10.7868/S0869565218100079. EDN: YWMUMX.
Ломакин Е. В., Лурье С. А., Рабинский Л. Н., Соляев Ю. О. Об уточнении напряженного состояния в прикладных задачах теории упругости за счет градиентных эффектов // Доклады РАН. 2019. Т. 489, № 6. С. 585–591. DOI: 10.31857/S0869-56524896585-591. EDN: KETOXA.
Лурье С. А. О парадоксе аномальной относительной изгибной жесткости сверхтонких балок в градиентной теории упругости // Известия РАН. Механика твердого тела. 2020. № 3. С. 48–57. DOI: 10.31857/S0572329920030095. EDN: LADRAR.
Gao X. L., Park S. K. Variational formulation of simplifies strain gradient elasticity theory and its application to pressurized thick-walled cylinder problem // Int. Journal of Solids and Structures. 2007. Vol. 44. P. 7486–7499. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2007.04.022. EDN: KETIPD.
Collin F., Caillerie D., Chambon R. Analytical solution for the thick-walled cylinder problem modelled with an isotropic elastic second gradient constitutive equation // Int. Journal of Solids and Structures. 2009. Vol. 46. P. 3927–3937. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2009.05.017.
Короленко В. А., Соляев Ю. О. Оценка уровня концентрации напряжений вблизи микро-размерных отверстий на основе упрощенных моделей градиентной теории упругости // Труды Московского авиационного института. 2021. № 121. С. 1–39. DOI: 10.34759/trd-2021-121-04. EDN: JKCWSF.
Mousavi S. M., Paavola J. Analysis of plate in second strain gradient elasticity // Arch. Applied Mechanics 2014. Vol. 84. P. 1135–1143. DOI: 10.1007/s00419-014-0871-9. EDN: AZYTNM.
Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т. 42, №. 4. С. 145–154. EDN: ONVVRD.
Eringen A. C., Spezialle C. G., Kim B. S. Crack Tip Problems in Nonlocal Elasticity // J. Mechanics and Physics of Solids. 1972. Vol. 25. P. 339–355.
Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.
Lurie S. A., Volkov-Bogorodsky D. B., Vasiliev V. V. A new approach to non-singular plane cracks theory in gradient elasticity // Mathematical and computational applications. 2019. T. 24, № 4. P. 24040093. DOI: 10.3390/mca24040093. EDN: JSPDPK.
Лурье С. А., Соляев Ю. О., Рабинский Л. Н., Кондратова Ю. Н., Волов М. И. Моделирование напряженно-деформированного состояния тонких композитных покрытий на основе решения плоской задачи градиентной теории упругости слоя // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2013. № 1. С. 161–181. EDN: PYXMRN.
Karami B., Janghorban M., Tounsi A. Nonlocal strain gradient 3D elasticity theory for anisotropic spherical nanoparticles // Steel and composite structures. 2018. T. 27, № 2. P. 201–216. DOI: 10.12989/scs.2018.27.2.201. EDN: VINXEY.
Arda M. Buckling analysis of intermediately supported nanobeams via strain gradient elasticity theory // International journal of engineering and applied science. 2020. T. 12, № 4. P. 163–172. DOI: 10.24107/ijeas.842499. EDN: NRPQHX.
Kim C. I., Zeidi M. Gradient elasticity theory for fiber composites with fibers resistant to extension and flexure // International journal of engineering science. 2018. T. 131. P. 80–99. DOI: 10.1016/j.ijengsci.2018.06.002. EDN: YIAPTF.
Ramezani Sh. Nonlinear vibration analysis of micro-plates based on strain gradient elasticity theory // Nonlinear dynamics. 2013. T. 73, № 3. P. 1399–1421. DOI: 10.1007/s11071-013-0872-1. EDN: IHJZKV.
Uzun B., Civalek Ö., Yayli M. Ö. Анализ продольных колебаний функционально-градиентного наностержня при различных условиях защемления на основе нелокальной теории упругости с учетом жесткости // Физическая мезомеханика. 2023. Т. 26, № 1. С. 60–77. DOI: 10.55652/1683-805X_2023_26_1_60. EDN: UHMKLZ.
Ерофеев В. И., Шешенина О. А. Нелинейные продольные и сдвиговые стационарные волны деформации в градиентно-упругой среде // Математическое моделирование систем и процессов. 2007. № 15. С. 15–27. EDN: PAXXAX.
Ватульян А. О., Явруян О. В. Колебания полосы с отслоением в рамках однопараметрической модели Айфантиса градиентной теории упругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2022. № 3. С. 70–82. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.3.08. EDN: IWCMUN.
Барулина М. А., Голиков А. В., Панкратова Е. В., Маркелова О. В. Исследование влияния структуры подвеса инерционной массы стеклянного микромеханического акселерометра на его характеристики // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2025. Вып. 1(68). С. 41–51. DOI: 10.17072/1993-0550-2025-1-41-51. EDN: DVYPDM.
Barulina M., Kondratov D., Galkina S., Markelova O. Analytical Solution for Bending and Free Vibrations of an Orthotropic Nanoplate based on the New Modified Couple Stress Theory and the Third-order Plate Theory // Journal of Mathematical and Fundamental Sciences. 2022. Vol. 54(1). P. 11–38. DOI: org/10.5614/j.math.fund.sci.2022.54.1.2. EDN: TMDNMI.
Ватульян А. О., Нестеров С. А., Юров В. О. Решение задачи градиентной термоупругости для цилиндра с термозащитным покрытием // Вычислительная механика сплошных сред. 2021. Т. 14, № 3. С. 253–263. DOI: 10.7242/1999-6691/2021.14.3.21. EDN: DDVVWM.
Ватульян А. О., Нестеров С. А. Решение задачи градиентной термоупругости для полосы с покрытием // Ученые записки Казанского университета. Серия "Физико-математические науки". 2021. Т. 163, кн. 2. С. 181–196. DOI: 10.26907/2541-7746.2021.2.181-196. EDN: DDVVWM.
Белов П. А., Лурье С. А. Вариационная формулировка градиентной необратимой термодинамики // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2023. № 5. С. 36–44. DOI: 10.15593/perm.mech/2023.5.04. EDN: OTLSML.
Van Р. Thermodynamically consistent gradient elasticity with an internal variable // Theoretical and applied mechanics. 2020. Vol. 47, Is. 1. P. 1–17. DOI: https://doi.org/10.2298/TAM200204006V.
Лурье С. А., Белов П. А., Ожерелков Д. А. Моделирование поврежденности механических свойств материалов в обобщенной градиентной теории упругости // Упругость и неупругость (материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел). М.: Изд-во МГУ, 2021. С. 270–276. EDN: LSRMGP.
Соляев Ю. О., Лурье С. А., Волков А. В. Численное решение задачи чистого изгиба балки в рамках дилатационной теории упругости // Вычислительная механика сплошных сред. 2017. Т. 10, № 2. С. 137–152. DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.2.12. EDN: ZBPCXN.
Ватульян А. О., Нестеров С. А. Масштабно-зависимая модель электроупругости для сплошного цилиндра с покрытием // Владикавказский математический журнал. 2023. Т. 25, вып. 4. С. 29–40. DOI: 10.46698/q5632-5654-3734-n. EDN: MKHUBF.
Ватульян А. О., Нестеров С. А. Градиентные модели деформирования составных электроупругих тел // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2023. № 5. С. 5–16. DOI: 10.15593/perm.mech/2023.5.01. EDN: MSKRGO.
Аптуков В. Н., Скрябина Н. Е., Фрушар Д. Анализ упругих деформаций, индуцированных гидридным превращением в магнии, в рамках градиентной теории упругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2025. № 3. С. 19–28. DOI: 10.15593/perm.mech/2025.3.02.
Лурье С. А., Соляев Ю. О. Метод идентификации параметров градиентных моделей неоднородных структур с использованием дискретно-атомистического моделирования // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 3. C. 89–112. EDN: SXDTNX.
Лурье С. А., Соляев Ю. О. Определение параметров градиентной теории упругости по потенциалам межатомного взаимодействия, учитывающим модифицированное правило Лоренца-Бертло // Физическая мезомеханика. 2016. Т. 19 (3). C. 39–46. EDN: WCLPNV.
Васильев В. В., Лурье С. А., Салов В. А. Исследование прочности пластин с трещинами на основе критерия максимальных напряжений в масштабно-зависимой обобщенной теории упругости // Физическая мезомеханика. 2018. Т. 21, № 4. C. 5–12. DOI: 10.24411/1683-805X-2018-14001. EDN: XWCGMH.
Askes H., Susmel L. Understanding cracked materials: is linear elastic fracture mechanics obsolete? // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. 2015. Vol. 38, №. 2. P. 154–160. DOI: 10.1111/ffe.12183.
Лурье С. А., Посыпкин М. А., Соляев Ю. О. Метод идентификации масштабных параметров градиентной теории упругости на основе численных экспериментов для плоских композиционных структур // International Journal of Open Information Technologies. 2015. Vol. 3, № 6. P. 1–5. EDN: TTTTVH.
Короленко В. А., Соляев Ю. О. Оценка уровня концентрации напряжений вблизи микро-размерных отверстий на основе упрощенных моделей градиентной теории упругости // Труды Московского авиационного института. 2021. № 121. С. 1–39. DOI: 10.34759/trd-2021-121-04. EDN: JKCWSF.
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
Copyright (c) 2025 Валерий Нагимович Аптуков, Марина Александровна Барулина
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Articles are published under license Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
