ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. ИНФОРМАТИКА

Градиентные теории упругости и способы идентификации градиентных параметров моделей

Валерий Нагимович Аптуков, Марина Александровна Барулина — Fri, 03 Oct 2025 00:00:00 +0000

В связи с разработкой новых нано-структурированных материалов представляют интерес неклассические, в частности, градиентные теории упругости, использование которых считается оправданным для микро- и нано-масштабов в различных практических задачах материаловедения, механике композиционных материалов и др. Данная работа посвящена обзору исследований по градиентным теориям упругости, касающейся как развития общих теоретических подходов, так и применения их к решению различных практических задач. В статье проанализированы работы, где исследовались статические, динамические, тепловые процессы в рамках градиентных теорий упругости; рассмотрены примеры задач использования неклассических теорий упругости для материалов и конструкций с отдельными трещинами, поврежденностью, фазовыми переходами и др. Следует отметить, что особой проблемой в таких задачах является идентификация параметров неклассических моделей, что является нетривиальным в отличие от классической теории упругости. В связи с этим, в статье предлагается оригинальный способ идентификации параметра упрощенной модели градиентной упругости Е. Айфантиса на основе представленного аналитического решения задачи одномерной деформации тяжелого тонкого слоя.

Формирование оптического полимерного моста для волоконно-оптического датчика температуры

Fri, 03 Oct 2025 00:00:00 +0000

В работе представлен метод изготовления волоконно-оптического датчика температуры на основе торцевого интерферометра Фабри–Перо, выполненного в виде полимерного "моста", часть которого является чувствительным элементом датчика. Основным материалом для создания чувствительной части является УФ-отверждаемая смола, прозрачная для оптического и ближнего инфракрасного диапазона. Проверка работоспособности датчика проводилась с помощью оптического анализатора спектра. Пики и провалы, видимые на спектре отражения широкополосного источника излучения, свидетельствовали о правильной работе интерферометра Фабри–Перо, а их смещение при изменении температуры образца позволило измерить чувствительность предложенного типа датчика. В результате выполнения работы показано, что чувствительность разрабатываемого датчика выше, чем у существующих аналогов, а габариты позволяют применять его в задачах биомедицины и ответственных измерениях температуры.

Полугруппа всех бинарных отношений на множестве

Евгений Михайлович Вечтомов, Арсений Андреевич Мамаев — Fri, 03 Oct 2025 00:00:00 +0000

Рассматриваются свойства полугруппы R(X) всех бинарных отношений на непустом множестве X с операцией композиции бинарных отношений. Доказано, что в терминах полугруппы R(X) выражается вся информация о бинарных отношениях на X. Описаны изоморфизмы между полугруппами R(X) и R(Y) для произвольных множеств X и Y. Получена абстрактная характеризация полугрупп R(X).

Система интегро-дифференциальных уравнений электродинамики для квазистационарного электромагнитного поля в немагнитном проводящем теле под диэлектрическим слоем

Сергей Владимирович Марвин — Fri, 03 Oct 2025 00:00:00 +0000

Рассмотрена начально-краевая задача для системы уравнений электродинамики в квазистационарном приближении применительно к немагнитному проводящему телу, находящемуся под слоем диэлектрика. Предполагается, что проводник и диэлектрик могут быть неоднородными по своим, соответственно, проводящим и диэлектрическим свойствам. Электромагнитное поле создается сторонним током, протекающим в ограниченной области, располагающейся в среде, внешней по отношению к проводнику и диэлектрическому слою; внешняя среда не обладает никакими электрическими и магнитными свойствами. На границах раздела сред предполагаются выполненными обычные условия сопряжения: тангенциальные компоненты напряженностей должны быть непрерывны; кроме того, на границах непроводящих сред должна быть непрерывна нормальная компонента электрической индукции. Начально-краевая задача рассмотрена в классической постановке: напряженности электрического и магнитного поля предполагаются гладкими функциями, удовлетворяющими уравнениям и граничным условиям в обычном (не обобщенном) смысле. При выполнении определенных условий, касающихся связности областей, занятых проводником, диэлектриком и сторонним током, а также гладкости границ этих областей, доказана единственность решения поставленной начально-краевой задачи. Также выполнен вывод системы интегро-дифференциальных уравнений, равносильной исследуемой начально-краевой задаче; ядра интегральных операторов этой системы имеют слабую особенность. Полученные результаты актуальны для задач вихретоковой дефектоскопии и толщинометрии.

Численное решение уравнений Фредгольма с двойной точностью методом вырождения интегрального ядра

Дмитрий Феликсович Пастухов, Юрий Феликсович Пастухов — Fri, 03 Oct 2025 00:00:00 +0000

В работе впервые предложен модифицированный метод вырождения интегрального ядра для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Идея заключается в том, чтобы интегральное ядро разложить в ряд Тейлора по одной переменной x, а не по двум переменным x, s как в классическом методе. Разложение ядра в ряд проводится в средней точке отрезка интегрирования, что уменьшает модули элементов матрицы C, а также область невырожденности для матрицы I–λC. Используется система степенных базисных функций на отрезке интегрирования. Получены три теоремы для достаточных условий корректности предложенного алгоритма методом вырождения интегрального ядра. Введено определение факториальной нормы Чебышева вектор-функции. Факториальная норма для системы частных производных интегрального ядра по переменной x и параметр λ входят в неравенство третьей теоремы – достаточное условие корректности алгоритма. Предложенный в работе численный алгоритм тестировался на трех интегральных уравнениях Фредгольма с ядрами с экспоненциальным ростом или с периодическим изменением знака ядра. Численные решения совпадают с точными решениями в 15 значащих знаках в равномерной метрике.

О некоторых свойствах полурешеток

Андрей Александрович Петров, Александр Павлович Шкляев — Fri, 03 Oct 2025 00:00:00 +0000

Полурешетки являются, по сути дела, идемпотентными моно-полукольцами. Доказано, что элементы всякой полурешетки разделяются ее простыми идеалами. Дано мультипликативное представление полуколец с полурешеточным умножением. Отсюда следует, что любая полурешетка изоморфна некоторой решетке множеств ее простого спектра. Установлено, что изоморфность произвольных полурешеток эквивалентна гомеоморфности их простых спектров. Показано, что конечные цепи являются ретрактами во всех содержащих их полурешетках. Получены следствия. Сделаны дополняющие замечания.

Высокоточная компактная локально-одномерная консервативная сплайн-схема для двумерного уравнения диффузии в квазилинейной постановке

Алексей Юрьевич Рахманов, Сергей Владимирович Русаков — Fri, 03 Oct 2025 00:00:00 +0000

Представлен численный метод решения смешанной начально-краевой задачи для двумерного уравнения диффузии в случае квазилинейного коэффициента диффузии, при наличии линейного источника, обеспечивающий четвертый порядок пространственной аппроксимации. Рассматривается алгоритм построения операторов разностной схемы на компактном шаблоне с помощью последовательного покоординатного применения сплайн-интерполяции. Приведен теоретический расчет порядка аппроксимации, обеспечиваемого рассматриваемой разностной схемой, а также найдено условие, при котором схема устойчива. Представлены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающих теоретически найденное значение для порядка аппроксимации.

Моделирование отсрочки поимки цели в ADT-игре с тремя защитниками

Александр Сергеевич Самохин — Fri, 03 Oct 2025 00:00:00 +0000

Рассматривается вариант Attacker-Defender-Target задачи с тремя защитниками. Задача рассматривается в простых движениях в плоской постановке: цель и защитники двигаются прямолинейно с постоянной скоростью. Начальное положение цели и атакующего задано. В этом случае движение цели определяется её начальным вектором скорости, а защитников – моментом и углом выпуска. Считается, что все защитники выпускаются сразу в начальный момент времени обнаружения атаки, так как их выпуск позже может быть шумным и демаскировать цель для атакующего. Защитники представляют собой ложные цели, фактически задача заключается в определении таких траекторий защитников, при которых атакующий вначале занимается их перехватом, и только после этого переключается на преследование основной цели. Тем самым время перехвата основной цели увеличивается, и при некоторых значениях параметров она может стать недостижима для имеющего ограниченный запас энергоресурса атакующего. В исследовании рассматривается модель работы системы самонаведения автономного атакующего аппарата, основанная на пропорциональной навигации, при этом сначала атакующий решает задачу совместного преследования целей, затем обходит цели по очереди. Разработан программный комплекс, проведено численное моделирование, определены оптимальные углы выпуска трех защитников для различных курсовых углов цели. Для каждого из рассмотренных случаев найдено решение, при котором атакующему не хватает энергоресурса для перехвата основной цели.